Conceitos de progreção aritimética

                                        Progração aritimética 

As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.

1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.

Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.



2ª propriedade: média aritmética.

Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:


e fizermos , ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos 

,
que é o termo do meio.

E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.

No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:



Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.

1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.

Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:

3 termos - (x - r, x, x + r)

4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)

5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.

2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.

Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo, , é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.

Assim, utiliza-se  no lugar de  no lugar de .