Tales de Mileto

Tales de Mileto nasceu em torno de 624 a.C. em Mileto, Ásia Menor (agora Turquia), e morreu em torno de 547 a.C. também em Mileto. É descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista da visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida. As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.

Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 a.C. conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apoiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu,. pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.

tales.jpg (1596 bytes)

Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático'' verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales" segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto. A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um circulo é bissectado por um diâmetro'', "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes".

Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual á sua altura".

Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola Jániá'' e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descobertas matemáticas especificas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos''. 

Por: Pedro campelo 

Número Imaginários

No conjunto dos números reais (  ) a  é igual a 5, mas qual é a ?

Como sabemos, não existe a raiz quadrada real de um radicando negativo com índice par. No conjunto dos números reais o máximo que podemos fazer é simplificar o radical desta forma:

Ainda assim o fator  não é um número real, pois o radicando -1 é um número negativo.

Para maiores informações sobre como retiramos o número 5 do radical, você pode consultar o nosso artigo sobre a radiciação e suas propriedades.

Analisando e interpretando (Matemática)

Ao longo do tempo, as metodologias educacionais vêm passando por um processo de mudança contínuo, visando à adequação dos jovens de acordo com a dinâmica da sociedade atual. Na Matemática, os conteúdos curriculares pautados nos modelos tradicionais de ensino, os quais orientavam os estudos de forma técnica e mecânica foram se extinguindo, uma vez que os alunos eram norteados a resolverem problemas dentro dos conceitos matemáticos oferecidos e demonstrados pelos livros didáticos.
Atualmente, essa forma de ensino tem sido descartada, deixando a critério do profissional o trabalho com conceitos voltados para o contexto educacional, no intento de obter um melhor rendimento escolar.

Vivemos hoje em um mundo direcionado para a informação instantânea, em decorrência do avanço dos meios de comunicação. A Internet veio para acelerar a divulgação das notícias pelo mundo, globalizando as informações em segundos. Essa forma de exposição dos dados informativos exige das pessoas um senso crítico, situado na organização de ideias e posicionamento esclarecedor quanto aos assuntos complexos.

O professor deve trabalhar uma Matemática contextualizada e interdisciplinarizada, isto é, uma junção de conteúdos matemáticos aplicados a outras disciplinas. Verificamos que a educação contribui, de acordo com o momento em que vivemos, para analisar de forma concreta as informações, interpretando, entendendo-as e tomando decisões.
Diante disso, algumas listas de exercícios deverão ser produzidas envolvendo situações matemáticas voltadas para a leitura, análise, interpretação e aplicação de cálculos. Observe o exemplo a seguir:

(UFG – 2010) - Segundo reportagem do Jornal do Senado, o Congresso Nacional aprovou a Emenda Constitucional nº 58, de 23/09/09, com base em duas propostas: “Uma aumenta o número de vereadores do país e outra reduz os porcentuais de receita que os municípios podem gastar com a Câmara de Vereadores.” A tabela a seguir mostra como foi feita a redução e quantas cidades brasileiras foram atingidas pela Emenda.

Jornal do Senado, Brasília, 28 setembro – 4 outubro 2009. pg. 3

Com base no exposto, considere um município com 250.000 habitantes que gastou R$ 49.000,00 com o Legislativo Municipal pela regra anterior, com base no porcentual apresentado na tabela. Se a Emenda nº 58 já estivesse em vigor, seu gasto máximo seria de:

(A) R$ 35.000,00
(B) R$ 39.200,00
(C) R$ 42.875,00
(D) R$ 49.000,00
(E) R$ 68.600,00

Em relação ao número de habitantes do município, os gastos estão de acordo com o intervalo de 100 mil a 300 mil. De acordo com a porcentagem da regra anterior, o gasto de
R$ 49 000,00 está ligado à porcentagem de 7%. Então, devemos descobrir por meio de uma regra de três simples o valor relativo a 100%, a fim de determinar os gastos de acordo com a Emenda 58, que reduz os gastos a 5% em relação à receita.

49 000 ------------- 7%
x -------------- 100%

7x = 4 900 000
x = 4 900 000 / 7
x = 700 000

De acordo com a Emenda 58, um município com a receita de R$ 700 000,00 deverá gastar somente 5% com o Legislativo. Veja:

700 000 ----------- 100%
x ------------ 5%

100x = 3 500 000
x = 3 500 000 / 100
x = 35 000

A resposta correta refere-se ao item “A” - R$ 35 000,00.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Equação do 1° grau

Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtraçãodas incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adiçãoou da substituição.

No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.

'

Vejamos alguns exemplos de resolução de sistemas de equações do 1° e do 2° grau:

1° Exemplo: 

Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15fornece um produto entre as incógnitas x e y, portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. Na segunda equação, isolaremos x:

2x – 4y = – 14
2x = 4y – 14
x = 4y – 14
     2
x = 2y – 7

Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:

x·y = 15
(2y – 7)·y = 15
2y² – 7y – 15 = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = – b ± √Δ​
      2.a

y = – (– 7) ± √169
       2.2

y = 7 ± 13
     4

y1 = 7 + 13        4 y1 = 20        4 y1 = 5

y2 = 7 – 13       4 y2 = – 6        4 y2 = – 3         2

Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os valores de x:

x1 · y1 = 15 x1 · 5 = 15 x1 = 15        5 x1 = 3

x2 · y2 = 15 x2 · (– 3) = 15 2  x2 = 15 . (– 2)               3 x2 = – 10

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, ^{– 3}/₂).

2° Exemplo: 

Para resolver esse sistema, utilizaremos o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por – 2. Nosso sistema ficará da seguinte forma:

(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150)
0x² – 7y² = – 28
7y² = 28
y² = 28
       7
y = ±√4
y₁ = + 2
y₂ = – 2

Agora nós podemos substituir os valores encontrados para y na primeira equação com o objetivo de obter os valores de x:

x² + 2y1² = 89 x² + 2.(2)² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x1 = + 9 x2 = – 9

x² + 2y2² = 89 x² + 2.(– 2)² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x3 = + 9 ​x4 = – 9

Podemos afirmar que a equação possui quatro soluções: (2, 9), (2, – 9), (– 2, 9) e (– 2, – 9).

Conceitos de progreção aritimética

                                        Progração aritimética 

As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.

1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.

Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.



2ª propriedade: média aritmética.

Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:


e fizermos , ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos 

,
que é o termo do meio.

E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.

No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:



Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.

1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.

Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:

3 termos - (x - r, x, x + r)

4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)

5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.

2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.

Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo, , é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.

Assim, utiliza-se  no lugar de  no lugar de .

História de Pitágoras

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. nacidade de Samos.

Fundou uma escola mística e filosófica emCrotona (colônias gregas na penínsulaitálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e dafilosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Pitágoras cunhado em moeda.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina ouniverso. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que aTerra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar darotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio dageometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..

Gauss e Sua Grande Contribuição para a P.A.

 
  Você conhece Carl Friedrich Gauss? Ele foi uma das mais notáveis crianças-prodígio, dessas que aparecem de raro em raro. Gauss da nasceu em Brunwick, na Alemanha, no ano de 1777. Seu pai era um trabalhador braçal que tinha uma opinião teimosamente pouco favorável à respeito da educação. Sua mãe, porém, ainda que inculta, encorajava-o nos estudos, e manteve por toda sua vida grande orgulho pelas realizações do filho. Diz-se que com a idade de três anos, Carl detectou um erro aritmético no borrador (livro onde comerciantes anotam, dia a dia, as suas operações) de seu pai.

  Dessa forma, Gauss contribuiu para obter uma relação que determina a soma dos termos de uma progressão aritmética. Generalizando seu raciocínio, tem-se:

  Dada uma progressão aritmética com n termos (a1, a2, a3, ... , an-1, an), tem-se:

  Essa relação permite determinar a soma dos n primeiros termos de uma PA, quando são conhecidos o primeiro e o último termo.